1 用ANSYS分析軟件求解Hertz問題

    假設(shè)兩個球體1和2接觸，它們的半徑分別為：R1=10mm,R2=15mm;彈性模量E1=220GPa,E2=69Gpa;泊松比為V1=0.27,V2=0.3;球1頂部施加集中載荷Q=8000N。

    根據(jù)軸對稱關(guān)系，按照軸對稱平面接觸模型進行計算，見圖1。

    對接觸體進行四邊形有限元劃分，在接觸區(qū)域附近其節(jié)點編號如圖2所示。

應(yīng)當(dāng)注意，在劃分單元之前，一定要預(yù)先估算加載后接觸區(qū)域的大小，否則可能使劃分的單元大于接觸區(qū)域尺寸，從而不能精確計算出（甚至無法計算出）接觸區(qū)的尺寸。一般情況下，單元尺寸盡可能小，應(yīng)使其為接觸橢圓半徑的1/3左右。當(dāng)然也不能無限制地細(xì)化單元，以免導(dǎo)致計算機的計算時間增加。適宜的單元大小劃分過程要經(jīng)過反復(fù)調(diào)試。

    有限元接觸應(yīng)力求解結(jié)果見圖3。ANSYS求解結(jié)果和Hertz理論解的比較列于表1中。在提取節(jié)點載荷時，如果節(jié)點載荷Fy>0,則該點處于接觸狀態(tài)（在模型最上端施加了負(fù)y向的力），否則處于非接觸狀態(tài)。最大法向應(yīng)力則應(yīng)該是所有接觸點應(yīng)力的最大值。接觸區(qū)域的半徑應(yīng)為最遠的那個接觸點的x坐標(biāo)值與該點x方向位移值之和的絕對值，即R=|X+Ux|.

    結(jié)果比較在表1中列出。其中aA,σA是接觸半徑和最大接觸應(yīng)力的ANSYS解，ah和σh是其Hertz理論解。

    比較的結(jié)論是，兩者求解的結(jié)果非常接近，接觸尺寸誤差僅為1.52%，而最大應(yīng)力誤差也僅為3.09%。因此可以說，用ANSYS軟件求解接觸問題有足夠的精度，是可靠的。

   2 Hertz 點接觸理論的適用范圍以球和球窩接觸為例，分別用Hertz理論和ANSYS求解。

如圖4所示，鋼球直徑Dw=2mm,球窩的曲率半經(jīng)為r（給定一系列數(shù)據(jù)），小球頂點施加集中載荷Q=20N；兩接觸體物理參數(shù)為E=207GPa。同上面的例子一樣，建模、劃分網(wǎng)格、設(shè)置參數(shù)和接觸對。ANSYS解和Hertz理論解的接觸半徑與最大應(yīng)力結(jié)果比較見表2。由于材料是軸承鋼，故在本例中Hertz點接觸理論公式可用

    從表2可以看出，當(dāng)f≥0.54時，Hertz理論解和ANSYS解基本一致，接觸尺寸誤差和最大應(yīng)力誤差分別為2.40%與4.63%；當(dāng)f<0.54時，誤差會越來越大；當(dāng)f=0.52時，兩者的誤差分別為4.99%與8.41%。此時Hertz理論的結(jié)果已不十分可靠了，而球軸承的情況正好與此相似。當(dāng)f更小時，Hertz理論已基本失效。